В данной статье мы расскажем о классификаци и свойствах основной геометрической фигуры - треугольника. А также разберем некоторе примеры решения задач на треугольники.
Содержание:
Треугольник - это фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки - его сторонами. В геометрических задачах треугольник обычно изображают специальным симовлом - △, после которго пишут названия вершин треугольника напр. △ABC.
Треугольник ABC (△ABC)
Углы треугольника, также, можно обозначать специальным символом - ∠. После которого пишут вершины треугольника в таком порядке чтобы вершина обозначающегося угла была в серединке. Например:
Все треугольники можно разделить на несколько видов, различающихся между собой величиной углов или длинами сторон. Такая классификация позволяет выделить особенности каждого из них.
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
a | = | b | = | c | |
sin α | sin β | sin γ |
Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
Для остроугольного треугольника:
Медиана треугольника ― отрезок внутри треугольника, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке O. (Точка пересечения медиан называется центроидом)
2. В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)
AO | = | BO | = | CO | = | 2 | |
OD | OE | OF | 1 |
3. Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие по площади части
4. Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.
5. Из векторов, образующих медианы, можно составить треугольник.
Формулы медиан треугольника через стороны:
Формулы сторон через медианы
Биссектриса угла треугольника— луч с началом в вершине угла, делящий угол на два равных угла.
Свойства биссектрис треугольника:
1. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке О,которая называется ИНЦЕНТР. Инцентр равноудален от трех сторон треугольника, следовательно инцентр - центр вписанной окружности.
2. Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.
AE | = | EC |
AB | BC |
3. Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.
4. Если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник — равнобедренный.
5. Если в треугольнике три биссектрисы равны, то треугольник — равносторонний.
Формулы биссектрис треугольника через стороны:
Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону.
В зависимости от типа треугольника высота может содержаться
1. Высоты треугольника пересекаются в одной точке O, называемой ортоцентром треугольника.
2. Если в треугольнике две высоты равны, то треугольник — равнобедренный.
3. Если в треугольнике все высоты равны, то треугольник — равносторонний.
Формулы высот треугольника через сторону и площадь:
Ваша оценка? |
|
|