1. Главная
  2. Калькулятор площади треугольника 21 способ

Треугольник. Формулы определения и свойства треугольников.

В данной статье мы расскажем о классификаци и свойствах основной геометрической фигуры - треугольника. А также разберем некоторе примеры решения задач на треугольники.

Содержание:

  1. Определение треугольника
  2. Классификация треугольников
  3. Свойства треугольников
  4. Медианы треугольника
  5. Биссектриссы треугольника 
  6. Высоты треугольника

 

Определение треугольника

 Треугольник - это фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки - его сторонами. В геометрических задачах треугольник обычно изображают специальным симовлом - △, после которго пишут названия вершин треугольника напр. △ABC.

Треугольник ABC

Треугольник ABC (△ABC)

  • Точки A, B и C - вершины треугольника. Принято писать их большими буквами.
  • Отрезки AB, BC и СА - стороны треугольника. Обычно сторонам присваивают свои названия маленькими буквами. Имя выбирают по первой вершине каждой стороны. Напр. у стороны AB  первая вершина А поэтому эта сторона называется а. Тоесть AB = a, BC = b, CА = c.
  • Стороны треугольника в местах соединения образуют три угла, которым обычно дают названия буквами греческого алфавита α, β, γ. Причем напротив стороны a лежит угол α, b - β, с - γ.

Углы треугольника, также, можно обозначать специальным символом - ∠. После которого пишут вершины треугольника в таком порядке чтобы вершина обозначающегося угла была в серединке. Например:

  • угол α - ∠ВСА или ∠ACB;
  • угол β - ∠ВАC или ∠CAB;
  • угол γ - ∠АBC или ∠CBA;

Классификация треугольников

Все треугольники можно разделить на несколько видов, различающихся между собой величиной углов или длинами сторон. Такая классификация позволяет выделить особенности каждого из них. 

1.Разносторонний – треугольник, у которого все стороны имеют разную длину.

Разносторонний треугольник, особенности

a ≠ b ≠ c
∠ α ≠ ∠ β ≠ ∠ γ

2. Равнобедренный – треугольник, у которого  длины двух сторон равны. Они называются боковыми сторонами AB и BC. Третья сторона называется основание СА. В данном треугольнике углы при основании равны  ∠ α  = ∠ β 

Равнобедренный треугольник. Особенности равнобедренного треугольника

a = b
∠ α=∠ β

3.Равносторонний (или правильный) – треугольник, у которого все стороны имеют одинаковую длину. Также все его углы равны 60°.

Равносторонний треугольник. Особенности равностороннего треугольника

a = b = c
∠ α = ∠ β = ∠ γ = 60°

4.Остроугольный – треугольник, у которого все три угла острые, т.е. меньше 90°

Остроугольный треугольник. Особенности остроугольного треугольника

∠ α  < 90° 
∠ β  < 90°
∠ γ  < 90°

5.Тупоугольный – треугольник, в котором один из углов больше 90°. Два остальных угла – острые.

Тупоугольный треугольник. Особенности тупоугольного треугольника

∠ α  < 90° 
∠ β  < 90°
∠ γ  >  90°

6. Прямоугольный – треугольник, в котором один из углов является прямым, т.е. равен 90°. В такой фигуре две стороны, которые образуют прямой угол, называются катетами (AB и BC). Третья сторона, расположенная напротив прямого угла – это гипотенуза (CА).

Прямоугольный треугольник. Особенности прямоугольного треугольника

∠ α  < 90° 
∠ β  < 90°
∠ γ  = 90°

Свойства треугольника

1.Свойства углов и сторон треугольника.

Треугольник ABC

  • Сумма всех углов треугольника равна 180°:
α + β + γ = 180°
  • Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны: 
a + b > c
b + c > a
c + a > b
  • В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:
если α > β, тогда a > b
если α = β, тогда a = b

2.Теорема синусов.

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a  =  b  =  c  
sin α sin β sin γ

 3. Теорема косинусов.

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a2 = b2 + c2 - 2bc·cos α
b2 = a2 + c2 - 2ac·cos β
c2 = a2 + b2 - 2ab·cos γ

4. Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β
b = a cos γ + c cos α
c = a cos β + b cos α

Медианы треугольника 

Медиана треугольника ― отрезок внутри треугольника, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Свойства медиан треугольника:

1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке O. (Точка пересечения медиан называется центроидом)

2. В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

AO  =  BO  =  CO  =  2  
OD OE OF 1

3. Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие по площади части 

S∆ABD = S∆ACD
S∆BEA = S∆BEC
S∆CBF = S∆CAF

4. Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников. 

S∆AOF = S∆AOE = S∆BOF =
= S∆BOD = S∆COD = S∆COE

5. Из векторов, образующих медианы, можно составить треугольник.

Медианы треугольника. Свойства и фрмулы

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны:

ma = 12√2b2+2c2-a2
mb = 12√2a2+2c2-b2
mc = 12√2a2+2b2-c2

Формулы сторон через медианы

a =
2
3
√2(mb2+mc2)-ma2
 
 
b =
2
3
√2(mb2+mc2)-mb2
 
 

c =
2
3
√2(mb2+mc2)-mc2

 

Биссектриссы треугольника 

Биссектриса угла треугольника— луч с началом в вершине угла, делящий угол на два равных угла.

Биссектрисса треугольника. Свойства и фрмулы

Свойства биссектрис треугольника:

1. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке О,которая называется ИНЦЕНТР. Инцентр равноудален от трех сторон треугольника, следовательно  инцентр - центр вписанной окружности.

2. Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

AE  =  EC
AB BC

3. Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

Угол между La и La' = 90°  

4.  Если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник — равнобедренный.

5. Если в треугольнике три биссектрисы равны, то треугольник — равносторонний.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

La =
√bcp(p-a)
b+c
 
 
Lb =
√bcp(p-b)
a+c
 
 
Lc =
√bcp(p-c)
a+b
 
 
p =
a + b + c
2

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

La =
2bc·cos
α
2
a+b
 
 
Lb =
2ac·cos
β
2
a+c
 
 
Lc =
2ab·cos
γ
2
b+c
 
 

Высоты треугольника

Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону.

Биссектрисса треугольника. Свойства и фрмулы

В зависимости от типа треугольника высота может содержаться

  • внутри треугольника - для остроугольного треугольника;
  • совпадать с его стороной - для катета прямоугольного треугольника;
  • проходить вне треугольника - для острых углов тупоугольного треугольника.

Свойства высот треугольника

1.  Высоты треугольника пересекаются в одной точке O, называемой ортоцентром треугольника.

2. Если в треугольнике две высоты равны, то треугольник — равнобедренный.

3. Если в треугольнике все высоты равны, то треугольник — равносторонний.

Формулы высот треугольника

ha = b sin γ= c sin β
hb= c sin α = a sin γ
hc = a sin β = b sin α

Формулы высот треугольника через сторону и площадь:

ha =
2S
a
 
 
hb =
2S
b
 
 
hc =
2S
c
 
 

Ваша оценка?